第三十一章 多相处还是有用的（2/2）

陈林：【別客气呀，就算是你作为我大客户的增值服务唄】

这次，对面沉默了十几秒。

就在陈林以为她不会再回的时候，新的消息弹了出来。

沈妍：【那就和你点的一样吧】

……

十分钟后，陈林提著两杯喜茶的多肉青提，走进了自习教室。

推开门，沈妍已经到了。

她正坐在椅子上，低头看著自己的笔记本电脑，听到开门声，立刻抬起头。

当她看到陈林手里的两杯饮料时，明显有些不好意思地站起身，快步走到门口，从他手里接过属於自己的那杯，低声说了一句“谢谢”。

陈林把自己的那杯放到桌上，不经意地打量了她一眼，隨即眼中闪过一丝讶异。

今天的沈妍，好像和往日里那个理科宅女形象，有点不太一样。

她今天穿了一件纯白短袖t恤，下面配著一条简约的黑色热裤。最明显的变化是她的头髮，虽然依旧是简单的披肩发，但显然是精心打理过的，柔顺地垂在肩头，再也看不到之前那种因为长时间不梳理而显得有些乱糟糟的痕跡。

整个人看上去，清爽又舒服。

陈林心里一动，嘴上忍不住调侃了一句：“可以啊沈同学，今天比平时漂亮不少。”

沈妍的脸“腾”地一下就红了，像是被踩了尾巴的猫，有些手足无措地转过身，快步走回自己的座位，连吸管都忘了插，嘴里快速地说道：“我们、我们还是说今天要问的內容吧！”

她一边说，一边把饮料放在手边，迅速点开笔记本电脑上一个早已准备好的文件夹，將屏幕转向陈林。

陈林笑著凑过去。

只听沈妍一边操作著电脑，一边用她那特有的、清冷又认真的声线介绍道：“这次主要是想让你给我讲一下偏微分方程里的两部分知识，椭圆方程理论和扩散方程。我按照上次的模式，给你准备好了相应的题目，我们现在可以开始了么？”

陈林看著屏幕上分门別类整理得清清楚楚的文件夹和文档，心里暗爽。

看来多相处还是有用的啊，沈妍把自己的习惯都记得一清二楚。

他拉过一张椅子，在沈妍旁边坐下，空气中似乎还飘散著她发梢淡淡的洗髮水清香。

“那就还是边解题边给你讲”陈林的声音里带著一丝自己都没察觉到的笑意，目光专注地落在了电脑屏幕上。

【第一题：设Ω???为有界开集，考虑边值问题

?Δu + u = f inΩ，

u = 0 on?Ω，

其中 f∈l2(Ω)。

(1)写出该问题的弱解定义（给出 sobolev空间、双线性型、线性泛函）。

(2)用 lax–milgram定理证明弱解存在且唯一。

(3)给出解的先验估计：∥u∥{h1}≤ c∥f∥{l2}，並说明常数 c的依赖关係。】

陈林一边在草稿纸上写一边给沈妍讲解：“第一问，先令工作空间为 sobolev空间 v := h?1(Ω)其范数取∥v∥{h1}:=(∥v∥{l2}2+∥?v∥_{l2}2)^{1/2}。”

“然后我们定义双线性型 a(u， v):=∫_Ω(?u·?v + u v) dx， u， v∈ v。”

“定义线性泛函?(v):=∫_Ω f v dx， v∈ v

若 u∈ v满足a(u， v)=?(v) ? v∈ v则称 u为原边值问题的弱解。”

“接下来我们看第二题：......”

就这样，和上次諮询一样，陈林就这样不停在草稿纸上写下解题步骤，偶尔停下来给沈妍详细解释某个关键步骤。

沈妍大多数时候都在认真听讲，偶尔会提出疑问，陈林解答了她的问题，等她理解后，继续讲下一个问题。

2个多小时的时间过的很快，窗外的太阳也开始慢慢西斜了。

“......继续叠代，我们会得到u3的 h?lder光滑度隨 u提升而提升，每次增加 2阶导数，形成闭循环。归纳可得 u∈c^{k，α}(Ω?)对所有 k≥2。接著我们求极限：u属於所有 h?lder空间? u∈c^∞(Ω?)。因此，从 h1弱解出发，经极大值原理得到 l^∞控制，再通过靴带法逐步提升，最终得到光滑解。”

陈林又讲完了一道题，他停下来，喝一口还有大半杯的多肉青提，等著沈妍理解完了，他就准备讲今天的最后一道题了

突然，一声陈林特別熟悉的清脆嗓音在教室门口响起：“你们果然在这里啊，陈林学弟，快来帮学姐拿一下晚饭。”

陈林：？